假設你和另一半在陌生的地方逛街,正在想該去哪裡吃晚餐。雖然你們都很餓,但你不想隨便遇到一間餐廳就進去,寧願再走走,挑間好的來吃。你自認眼光精準,一看就能知道這家餐廳的品質如何,還可以跟其他餐廳比較。

你更判斷出在另一半不耐煩之前,大概有時間逛到最多十間餐廳。而且,因為你不想留下優柔寡斷的印象,所以決定只要走過,絕不回頭。

遇到這樣的問題,最好的策略是先瞭解一下大致的狀況,也就是前幾間餐廳都只是觀察,卻不走進去。其實你也可以隨便遇到一間餐廳就走進去,但既然你完全不知道這個環境的情況,能夠挑到最佳餐廳的機率就只有1/10。

所以,最佳的做法是先看過幾間,接著在剩下的選擇當中,只要看到「比先前幾間都好」的選擇,就決定是它了。

餐廳挑選策略:找到最佳停止時機

前三間餐廳是做為品質判斷的基準,單純觀察品質如何,而不會進去用餐。當你逛到了第七間餐廳,發現它比過去幾個選擇都優秀,那麼就可以在這裡停下,進去用餐。

然而,選前三間做為基準,這個數字正確嗎?在這種最佳停止時機的問題裡,重點在於到底該先觀察幾間餐廳(而不進去用餐),才能瞭解這個環境大致的情況?如果看得不夠多,就無法充分瞭解環境,但如果觀察(並排除)了太多間,可能剩下來的選擇就十分有限。

這項問題背後的數學原理十分複雜,總而言之就是:你應該觀察前37%的餐廳(在只有十間的時候,捨去算成三間),接著只要遇到比先前都優秀的餐廳,就以此為最後決定。

說得更精確一點,就是先拒絕所有可得選項個數的1/e,這裡的e是歐拉數(Euler’s number)的簡寫,因為歐拉數大約是2.718,所以1/e大約是0.368,或是寫成大約37%。

如果要從100間餐廳當中挑選,到底該先觀察幾間餐廳,能夠讓選到最佳餐廳的可能性達到最高?

我們可以料想到,如果太早做出決定,等於是盲目選擇,所以能選到最佳餐廳的機率很低;同理,如果太晚做出決定,很有可能已經錯過最佳的選擇。倘若你觀察的是前37個選項,就能把挑到最佳餐廳的可能性提升到最高。

只不過,如果最佳餐廳就在前37%裡怎麼辦?那不就錯過了嗎?在此要提醒各位,這種「37%」的規則本來就不是成功的保證,它只是一個機率法則,告訴你有37%的時候能夠挑出最好的餐廳。

37%已經是這種情況下的最高機率,高於有十間餐廳可選而隨便選的10%,更遠遠高於有100間餐廳可選而隨便選的1%。在選項個數愈多的時候,相對成功率也會愈高。

最佳停止時機的規則並不只適用於挑餐廳。事實上,數學家一開始是把這套規則用在「雇用問題」上。

選出移動比較快的結帳櫃檯、比較空的車廂

假如你得依序面試一定數量的應徵者,並在面試每個人後立刻告知是否錄用,那就該採用37%的規則。先面試37%的應徵候選人(但都不錄用),以此做為基準。而在接下來,只要出現比先前都優秀的應徵者,就直接錄用。

我家附近的超市有11個結帳台,我也會先走過前37%(4個)結帳台,觀察現在的隊伍有多長,接著只要看到更短的隊伍,就排那一排。

如果我和朋友出門夜歸,打算趕上最後一班列車,但乘客似乎不少,而我們又希望能找到空位最多的車廂,好讓我們坐在一起;這時也可以運用37%的規則。

要是遇到的列車總共有八節車廂,我們就會先走過前三節,觀察空位的狀況,接著在空位比先前都多的車廂坐下來。

活用37%法則

以上的場景雖然已經盡量舉實際的例子,但還是有一部分略為牽強,再修正一下或許會更加貼近現實。

例如在觀察餐廳的時候,如果發現有一半都沒有空桌了,你該怎麼辦?在這種時候,很顯然該減少拒絕的餐廳。所以,不要再堅持觀察完前37%,而是觀察了前25%之後,一出現比先前都優秀的選項時,就該做出決定。

像是在搭上末班列車的時候,如果有時間可以回頭走進剛才經過的車廂,但車廂有50%的機率坐滿了乘客,那又該怎麼選擇?可以回頭,代表選項變多、也有餘裕可以挑久一點,所以此時就可以先觀察並拒絕前61%的車廂,接著選擇下一節最空的車廂。當然,你得在列車跑掉之前上車才行。

此外,不管是想知道賣房的最佳時機,或是該離電影院多遠才最有機會找到不必走太久的車位,這些問題都有相關的最佳停止時機演算法。只不過,隨著條件愈來愈貼近現實,相關的數學也會愈來愈複雜,無法再用一個簡單的百分比來表示。

甚至,還有一套最佳停止時機演算法,算的是你應該先跟多少人約會,再決定你的最佳終生伴侶。

37%法則也能幫你決定「另一半」?

首先,你得判斷在自己定下來之前,大概可以交幾個男女朋友。假設你大概一年交一個,那麼從18歲到35歲之間,就有17人可供選擇。這時,根據最佳停止時機法則,你應該先遊戲人間6年到7年(大約是17年的37%),觀察自己可以遇上怎樣的對象。接著,只要出現比過去都優秀的選擇,你就該認定這是今生的伴侶。

對於像這樣由一套預定規則來支配自己的愛情生活,很多人都會感到懷疑。如果在那前37%裡,真的有很合得來的人怎麼辦?難道真的要為了執行這套求愛演算法,就狠心放下對方嗎?如果你自己遵守了一切規則,但認定是最佳選項的對方,卻不認為你是最佳選項,又該怎麼辦?如果走到一半,發現自己喜歡的條件不一樣了,又要怎麼辦?

還好,講到內心、或是其他更明顯的數學最佳化問題時,我們並不一定需要找到絕無僅有的真命天子/天女、最好的解決方案。世界上可能有很多人都會跟我們處得不錯,能讓我們有幸福的一生。最佳停止時機的策略,並不會提供所有人生問題的答案。

雖然演算法潛力無窮,能夠協助我們處理日常生活的許多面向,但絕不是所有的問題都能用演算法找出最佳解答。 

書籍簡介

攸關貧富與生死的數學
The Maths of Life and Death : Why Maths Is (Almost) Everything
作者: 葉茲
原文作者: Kit Yates
譯者: 林俊宏
出版社:天下文化
出版日期:2020/08/26

作者簡介

葉茲 Kit Yates

2011年取得牛津大學數學博士學位,現任巴斯大學(University of Bath)數學生物學高級講師、數學生物學中心副主任。他擅長分析現實世界的現象,研究範圍廣及胚胎疾病、蛋殼上的圖樣、蝗災的集體毀滅性等,並從中梳理出背後的數學模式。他在數學生物學方面的研究常刊載在英國廣播公司(BBC)、愛爾蘭國家電視廣播臺(RTÉ)、《衛報》、《每日電訊報》、《科學人》、路透社等媒體。

責任編輯:洪婉恬